УДК 115:530.1

СТРЕЛА ВРЕМЕНИ И РОСТ ЧИСЛА ЧАСТИЦ: РАВНОВЕСНОЕ ПРОШЛОЕ КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ГИПОТЕЗЫ ПРОШЛОГО

Москвин С. Л., директор АНО ДО «Инноватор», Москва

Препринт, не проходил рецензирование · Версия 3 · CC BY 4.0 · Программа SRDP · Этап развития программы: статусы прежних утверждений

Предыдущие версии: v1 (03.08.2026, «Роль движения частиц в объяснении природы времени») — DOI 10.5281/zenodo.21772527; v2 (20.09.2026) — DOI 10.5281/zenodo.22855906 [2]. Все версии: концептуальный DOI 10.5281/zenodo.21772526. Статья — сопутствующая к приложению Д главной статьи программы SRDP [1] и к статье о моносреде [3].

Аннотация

Статья входит в программу SRDP (Self-Replicating Dark Particles, «саморепликация тёмных частиц») [1]. Версия 2 предлагала считать носителем стрелы времени полное число частиц N, растущее при саморепликации, а прошлое — равновесным, «вместо гипотезы прошлого» (допущения, что Вселенная началась с очень низкой энтропии). В этой версии мы отмечаем, что из прежней идеи сохранилось, что уточнено и что снято; новых расчётов, кроме одной короткой аналитической выкладки, нет. Сохраняется: при любом положительном темпе репликации r число частиц в сопутствующем объёме строго растёт (Ṅ/N = r), а параметр Хаббла выходит на плато; поэтому N годится как упорядочивающая переменная (внутренние часы). Направление при этом задаёт знак r > 0, принятый как постулат. Изменилось: «равновесное прошлое» теперь — вечная моносреда в покое (не расширялась и не сжималась), а начало — первая флуктуация, нарушившая неустойчивое равновесие [3; 4]. Главная поправка: такое прошлое не заменяет гипотезу прошлого, а является её частным случаем — если энтропию тяготения понимать по Пенроузу. Равновесие здесь механическое, а не термодинамическое: с учётом тяготения однородное состояние имеет низкую энтропию, поэтому противоречия нет, но нет и замены гипотезы. Опровергнуто: экспоненциальный закон N ∝ exp(Γt) с постоянным темпом (такой темп исключён данными) и прошлое «рождение = разбавление» (Γ = 3H). Для поздней репликации исключено и более сильное прочтение, которого версия 2 не утверждала: «темп необратимых процессов задаётся ростом N»; при рекомбинации N почти не меняется. Статус: N как упорядочивающая переменная — совместимо; N как единственный физический носитель стрелы и тождество «стрела = рост энтропии = рост N» — не доказано.

Ключевые слова: стрела времени, гипотеза прошлого, энтропия, гравитационная энтропия, гипотеза кривизны Вейля, моносреда, статическая Вселенная Эйнштейна, рождение частиц, программа SRDP

Что изменилось с версии 2

• Название изменено: в версии 2 — «Стрела времени как следствие роста числа частиц: вывод монотонной величины и равновесное прошлое вместо гипотезы прошлого»; «вместо» снято (раздел 3), поэтому теперь равновесное прошлое названо частным случаем гипотезы прошлого.
• Монотонная величина сохранена (раздел 1): Ṅ/N = r верно при любом законе расширения; теперь записано для рабочей частоты главной статьи r = 3HΩ_Λ [1, шаг 8], а не для постоянного темпа.
• «Равновесное прошлое» согласовано со статьями о моносреде и о покое (раздел 2): вечная моносреда в покое, первая флуктуация, затем варианты А и Б на равных [3; 4].
• Разобрано отношение к гипотезе прошлого (раздел 3): механическое равновесие ≠ максимум энтропии; противоречия с гипотезой прошлого нет, но «вместо» снято: равновесие покоя — её частный случай (если энтропию тяготения понимать по Пенроузу).
• Добавлены наши гипотезы о стреле и энтропии (раздел 4; прил. Д(8), Д(9) главной статьи) — с известными опорами (Пригожин, Ингланд) и оговорками.
• Опровергнуто: N(t) = N₀·exp(Γt) как космологический закон (постоянный темп исключён [1, шаг 8]); прошлое как равновесие «рождение = разбавление» Γ = 3H (вечное расширение, неполное по теореме Борде–Гута–Виленкина [4, раздел 4]); для поздней репликации исключено и более сильное прочтение, которого версия 2 не утверждала: «темп необратимых процессов задаётся ростом N» (раздел 1).
• Уточнено: «в прошлом частиц было мало» верно лишь до разогрева; при рабочей частоте полное число частиц «пыли» в описании шага 8 в прошлом стремится к ≈ 0,31 сегодняшнего (раздел 1; при допущении, что темп r относится ко всему N).
• Снято: «стрела не задаётся граничным условием»; «картина не содержит начального момента» (в основной картине есть первое событие — флуктуация); H∞ = Γ/3 с произвольным постоянным Γ (сохраняется лишь в пределе: r → 3H∞, где H∞ = √Ω_Λ·H₀ ≈ 0,83 H₀ [1, шаг 8]); таблица 1 версии 2 (игрушечный постоянный темп).
• Обозначения: темп репликации — r (в главной статье Γ — темп туннелирования); «первичное поле» → моносреда.

Введение

Законы механики, электродинамики и квантовой теории симметричны по времени, а мир — нет [Price, 1996]. Стандартный ответ: стрела времени — направление роста энтропии, а для этого Вселенная должна была начаться в состоянии очень низкой энтропии. Это допущение Альберт назвал гипотезой прошлого [Albert, 2000]; оно не выводится из динамики и вводится как граничное условие [Carroll, 2010; Wald, 2006].

Версия 2 предлагала иное основание: монотонный рост полного числа частиц N при саморепликации и «равновесное прошлое», в котором направленности нет. С тех пор программа SRDP изменилась: постоянный темп репликации исключён данными [1, шаг 8], а «равновесное прошлое» в форме «рождение = разбавление» опровергнуто и заменено вечной моносредой в покое [3; 4]. Эта версия сохраняет прежнюю идею как этап развития программы и отвечает на вопрос, который в версии 2 был решён слишком быстро: совместимо ли равновесное прошлое с гипотезой прошлого и может ли оно её заменить.

1. Что сохраняется: монотонная величина

Плотность числа частиц n при рождении с темпом r подчиняется уравнению ṅ + 3Hn = rn (точка над буквой — производная по времени), где H — параметр Хаббла (темп расширения), а a — масштабный фактор (во сколько раз выросли расстояния; сегодня a = 1). Для числа частиц в сопутствующем объёме (объёме, который расширяется вместе со Вселенной) N = n·a³ член разбавления сокращается:

Ṅ/N = r. (1)

Это верно при любом законе расширения и, как отмечала уже версия 2, само по себе — учебный результат. Новым было предложение сделать N упорядочивающей переменной (внутренними часами; не путать с параметром порядка Ландау): из двух состояний раньше то, где N меньше. Такое прочтение не содержит t и потому не тавтологично; оно сохраняется. Оговорим: N задаёт порядок, а направление — какой конец считать прошлым — задаёт знак r > 0, то есть необратимость закона рождения, принятая как постулат (при обращении времени Ṅ/N = −r). Кроме того, любая строго монотонная величина (например, масштабный фактор a) годится как внутренние часы; N выделено не математикой, а физическим смыслом.

В версии 2 r = Γ = const и N = N₀·exp(Γt). В главной статье постоянный темп исключён. Если долю вещества взять из реликтового излучения, согласие с данными барионных акустических осцилляций (BAO) у постоянного темпа хуже, чем у космологической постоянной Λ, на Δχ² ≈ +42…+58, то есть на ≈ 6–7σ (σ — стандартное отклонение). По одним BAO, при свободной доле вещества, постоянный темп не хуже Λ. Рабочая частота — темп репликации, принятый в главной статье, — r = 3HΩ_Λ (Ω_Λ — доля тёмной энергии в данную эпоху) воспроизводит историю расширения стандартной модели [1, шаг 8]. Для неё уравнение (1) интегрируется точно (наш расчёт; проверяется подстановкой, излучение не учитывается):

N(a)/N₀ = Ω_m0 + Ω_Λ0·a³, (2)

где Ω_m0 ≈ 0,31 и Ω_Λ0 ≈ 0,69 — доли вещества и тёмной энергии. Здесь N — полное число частиц холодной «пыли» (частиц, давлением которых можно пренебречь) в эффективном описании главной статьи [1, шаг 8]: вещество вместе с рождёнными частицами, которые в сумме ведут себя как тёмная энергия («Λ-часть»). Темп r относится ко всему N (вещество служит затравкой), масса частицы постоянна, поэтому N ∝ ρa³, а при r = 3HΩ_Λ имеем ρa³ ∝ Ω_m0 + Ω_Λ0·a³. Это допущение эффективного описания; если считать только рождённые частицы, их число растёт как a³ и в прошлом стремится к нулю.

Красное смещение z связано с масштабным фактором: 1 + z = 1/a. Рекомбинация (z ≈ 1100) — образование нейтральных атомов, после которого Вселенная стала прозрачной для реликтового излучения.

Вывод версии 2 о плато подтверждается: H стремится к H∞ = √Ω_Λ0·H₀ ≈ 0,83 H₀ [1, шаг 8], а N растёт как a³ без предела. Но картина прошлого изменилась: N в описании шага 8 в прошлом не мало, а стремится к ≈ 0,31 N₀, и при z ≳ 3 почти не растёт (за всё время от z = 10 до z = 3 — на 3 %).

Строго монотонным N остаётся, однако при рекомбинации d ln N/d ln a ≈ 5·10⁻⁹ (относительный рост N на единицу относительного роста a): необратимый процесс завершается, пока N меняется лишь на несколько миллиардных долей. Поэтому сильная форма — «темп необратимых процессов задаётся темпом роста N» — для поздней репликации опровергнута стандартной историей; версия 2 так не утверждала, а её тезис о вторичности энтропийной стрелы остаётся недоказанным (раздел 4).

Малым было лишь число частиц до разогрева (эпохи сразу после инфляции — кратковременного сверхбыстрого расширения, — когда энергия поля перешла в горячие частицы), но это другая популяция, не «пыль» формулы (2): инфляция размножает объёмы, разогрев лавинно рождает частицы [1, шаги 2–4]. Между концом разогрева и z ≈ 3 заметного роста N от саморепликации нет, и стрела в эти эпохи держится на обычной энтропии.

2. Что изменилось: равновесное прошлое — моносреда в покое

В версии 2 «равновесное прошлое» — это равновесие Γ = 3H, где рождение уравновешено разбавлением. Это вечное расширение с постоянным темпом: его прошлое неполно по теореме Борде–Гута–Виленкина (если в среднем Вселенная в прошлом расширялась, её история не может быть бесконечной в прошлое), и эта форма опровергнута [4, раздел 4].

Мы принимаем следующую картину (статус — не доказано) [3; 4, раздел 3]. Вечно существовала моносреда — однородная непрерывная среда, не состоящая из частиц. Она находилась в равновесии: не расширялась и не сжималась (H = 0). Вечный покой теореме Борде–Гута–Виленкина не противоречит: средний темп расширения в прошлом стремится к нулю. В общей теории относительности такой покой — статическая Вселенная Эйнштейна: замкнутое пространство, в котором тяготение среды уравновешено космологической постоянной; это равновесие неустойчиво [Eddington, 1930; 4, раздел 3]. Расширение началось с первой флуктуации, которая нарушила неустойчивое равновесие: флуктуация — причина, нарушение равновесия — результат. Дальше на равных рассматриваются два продолжения (Ω_k — параметр кривизны пространства): А — сразу наша замкнутая Вселенная (Ω_k < 0); Б — размножение объёмов и вселенные-пузыри (области, расширение которых идёт независимо), наша — открытая или практически плоская (Ω_k ≥ 0) [3, раздел 3].

Что из этого следует для стрелы времени. Мысль версии 2 «в равновесии направленности нет» сохраняется: пока среда покоится, макроскопически ничего не меняется. Периодические процессы (часы) в равновесии возможны: они задают длительность и последовательность, но не направление. По физическим свойствам состояний покоя нельзя отличить «раньше» от «позже»: время как длительность есть, стрелы нет. Стрела начинается с первой флуктуации и направлена от неё. В моносреде частиц нет, поэтому от флуктуации до разогрева состояния упорядочивает не N, а масштабный фактор a (объём). Стрела, направленная от особой точки, есть и в других моделях, но сходство с ними лишь частичное. У Кэрролла и Чен энтропия растёт в обе стороны от «середины», и картина в целом симметрична во времени [Carroll, Chen, 2004]; у Барбура, Кословски и Меркати в задаче N тел есть особая точка, от которой мера сложности растёт в обе стороны [Barbour, Koslowski, Mercati, 2014]. В обеих моделях по другую сторону от особой точки стрела обращена, а в нашей картине её там нет: до первой флуктуации — вечный покой. В варианте Б стрелы разных пузырей независимы.

Но формулировка версии 2 «стрела не задаётся граничным условием» снимается. В основной картине есть первое событие, а до него — особое состояние: однородный покой. Это и есть граничное условие, разговор о котором продолжает раздел 3.

3. Противоречит ли равновесное прошлое гипотезе прошлого?

Проблема. В термодинамике равновесие изолированной системы — это максимум энтропии. Если прошлое равновесно, его энтропия максимальна; тогда наш мир с низкой энтропией должен был возникнуть как редкая флуктуация, а малые флуктуации вероятнее больших. В космологии этот довод приводит к известным парадоксам: для вечного пространства де Ситтера (вечного расширения с постоянным темпом) их описали Дайсон, Клебан и Сасскинд [Dyson, Kleban, Susskind, 2002] (см. также [Albrecht, Sorbo, 2004]). Равновесие Γ = 3H версии 2 было именно де Ситтером, так что эта трудность была у неё в полной мере.

Как она снимается для моносреды в покое. Приведём три довода разной силы.

1. Механическое равновесие — не термодинамическое. Покой моносреды означает баланс сил (ȧ = 0, ä = 0), а не максимум энтропии. Статическая Вселенная Эйнштейна — неустойчивое равновесие (седловая точка, как шар на седле): малое однородное отклонение растёт само [Eddington, 1930; Barrow et al., 2003]. Поэтому первой флуктуации не нужно понижать энтропию: она лишь запускает уход из неустойчивого состояния. Этот довод снимает требование, чтобы начало было редкой флуктуацией с понижением энтропии (парадокс больцмановской флуктуации), но не объясняет, почему начальное состояние было особым; это делает довод 2.
2. Гравитационная энтропия Пенроуза. С учётом тяготения однородное распределение — состояние низкой, а не высокой энтропии: скучивание и чёрные дыры её повышают [Penrose, 1979; Wald, 2006]. Пенроуз сформулировал низкую начальную энтропию как условие на начало (гипотеза кривизны Вейля): тензор Вейля C (часть кривизны, отвечающая приливам и гравитационным волнам) там равен нулю. Однородные изотропные модели, в том числе статическая Вселенная Эйнштейна, имеют тензор Вейля, тождественно равный нулю [Stoica, 2013]. Значит, однородная моносреда в покое удовлетворяет условию C = 0, которое гипотеза кривизны Вейля требует от начального состояния (сам Пенроуз формулировал её для начальной сингулярности), а её энтропия далека от максимума. Даже сегодня энтропия наблюдаемой Вселенной ≈ 3·10¹⁰⁴ k (в основном в сверхмассивных чёрных дырах), тогда как энтропия космологического горизонта событий, которую принимают за верхнюю границу, ≈ 2,6·10¹²² k [Egan, Lineweaver, 2010].
3. Рост фазового объёма при расширении. По Лейзеру и Фрауччи, при расширении максимально возможная энтропия растёт быстрее фактической, и система, бывшая в равновесии, отстаёт от него всё сильнее [Layzer, 1975; Frautschi, 1982]. Рост числа частиц добавляет к этому новые объекты. Довод спорный: при обратимой динамике пространство состояний задано раз и навсегда, и «растущий набор состояний» — упрощение [Carroll, 2010, гл. 13]; Уолд предупреждает, что общего понятия гравитационной энтропии нет [Wald, 2006]. Мы считаем этот довод вспомогательным.

Вывод: противоречия нет, но и замены нет. Равновесное прошлое моносреды с гипотезой прошлого совместимо именно потому, что является её частным случаем: однородный покой — это состояние с низкой гравитационной энтропией в смысле Пенроуза (общего определения гравитационной энтропии нет). Особость начального состояния не исчезает, а получает физическую форму — «однородное неустойчивое равновесие». Почему среда была однородной, а не скученной или анизотропной, программа не объясняет. Кроме того, вечное пребывание в неустойчивой точке — состояние меры нуль: особость начала переходит в особость самого покоя, то есть в бесконечно точную настройку. Отсутствие частиц в моносреде этого не решает: гравитационные степени свободы (анизотропия, гравитационные волны) есть и без частиц, а однородные анизотропные моды статическую Вселенную разрушают [Barrow et al., 2003]. Остаётся открытым и вопрос «почему не раньше» [3, раздел 2; 4, раздел 3.5].

4. Энтропия и число частиц: наши гипотезы (не проверены)

Гипотеза 1 (прил. Д(8) главной статьи). Стрелу времени задают течение среды и необратимый рост числа частиц. Под течением мы понимаем расширение среды; его мера, не зависящая от выбора координат, — темп расширения H для сопутствующих наблюдателей (движущихся вместе с расширением). Пока среда покоится (H = 0) и ничего не растёт, время как длительность идёт (часы возможны), но направления — физического различия между прошлым и будущим — нет: нет течения — нет стрелы времени. Обратное не следует само собой: знак H, как и знак r, направления не выделяет — при обращении времени расширение становится сжатием; течение отличает изменение от покоя, а связь его направления с энтропийной стрелой и составляет содержание гипотезы. Образ взят из «речной» модели чёрной дыры, где пространство втекает в дыру со второй космической скоростью и на горизонте достигает скорости света [Hamilton, Lisle, 2008]. Оговорки: «скорость потока» там — свойство выбранных координат (Гульстранда–Пенлеве), а не инвариант; в сопутствующих координатах расширяющейся Вселенной такой скорости нет, поэтому мерой течения служит H, а не скорость. Часы неподвижного наблюдателя в речной модели идут тем медленнее, чем быстрее поток (множитель √(1 − v²/c²)), а при нулевом потоке идут нормально. Поэтому речная модель иллюстрирует темп хода часов, но не обосновывает стрелу. Не доказано.

Гипотеза 2 (прил. Д(9)). Каждый акт копирования увеличивает число объектов и число их возможных расположений, поэтому энтропия S = k ln W (k — постоянная Больцмана, W — число микроскопических расположений) растёт вместе с N. Известная опора: в термодинамике космологического рождения материи Пригожина и соавторов при постоянной энтропии на частицу S растёт пропорционально N, рождение необратимо, а обратный процесс второе начало запрещает [Prigogine et al., 1988]. Самовоспроизводящаяся система обязана производить тепло, и тем больше, чем быстрее она копирует и чем долговечнее копии [England, 2013]. Оговорки: постоянная энтропия на частицу — допущение, а не вывод; почти вся энтропия Вселенной создана разогревом и скучиванием в чёрные дыры [Egan, Lineweaver, 2010], а не поздним рождением; число частиц в искривлённом пространстве-времени зависит от выбора наблюдателя [Parker, 1969]. Тождество «стрела = рост энтропии = рост N» не доказано.

5. Статусы, проверки и ограничения

Что проверяемо. Собственного наблюдаемого предсказания у этой статьи нет. Проверяемое наследуется: знак кривизны различает варианты А и Б [3, раздел 3]; рабочая частота неотличима от космологической постоянной [1, шаг 8]. Условие опровержения версии 2 («мера необратимости не связана с темпом расширения») остаётся концептуальным: меры необратимости, измеримой на разных красных смещениях, нет. Ограничения. Модели моносреды нет; связь роста N с локальной необратимостью не построена; доводы раздела 3 качественные.

Заключение

Идея версии 2 — монотонная величина, которая задаёт порядок состояний, — сохраняется: при любом положительном темпе репликации N строго растёт, а H выходит на плато. Закон с постоянным темпом и прошлое «рождение = разбавление» опровергнуты; рост N поздней репликации не может задавать темп ранних необратимых процессов. Равновесное прошлое теперь — вечная моносреда в покое и первая флуктуация, нарушившая неустойчивое равновесие. Гипотезе прошлого оно не противоречит, потому что механическое равновесие однородной среды с учётом тяготения — состояние низкой энтропии в смысле Пенроуза. Но и не заменяет её: особость начала получает физическую форму, а не объяснение. Статус: ядро совместимо; физический носитель стрелы не доказан.

Раскрытие информации

Выкладка, её проверка и проверка литературы выполнены с помощью ИИ-ассистента (Claude) под руководством автора. Чат с ИИ предоставляется по запросу. Единственная новая выкладка — формула (2) и таблица раздела 1. Идеи — число частиц как носитель стрелы времени, равновесное прошлое, течение среды и энтропия на языке саморепликации (прил. Д(8), Д(9) главной статьи) — авторские; ИИ не является соавтором, ответственность за содержание несёт автор.

Связь с серией SRDP. Статья — сопутствующая к приложению Д главной статьи программы SRDP [1] и к статье о моносреде (№10) [3]. Рабочая частота и H∞ — в шаге 8 главной статьи; теорема Борде–Гута–Виленкина, покой и его неустойчивость — в статье №12 [4]; первая флуктуация и варианты А/Б — в статье №10 [3].

Литература

Программа SRDP

1. Москвин С. Л. Саморепликация как механизм эволюции Вселенной: гипотеза SRDP — от возникновения Вселенной до сегодняшнего дня (главная статья программы SRDP, версия 3) // Zenodo. 2026. Концептуальный DOI: 10.5281/zenodo.21759021.
2. Москвин С. Л. Стрела времени как следствие роста числа частиц: вывод монотонной величины и равновесное прошлое вместо гипотезы прошлого (версия 2) // Zenodo. 2026. DOI: 10.5281/zenodo.22855906 (версия 1: DOI 10.5281/zenodo.21772527; все версии: 10.5281/zenodo.21772526).
3. Москвин С. Л. Моносреда и первая флуктуация: как вечное равновесие сменилось расширением Вселенной и откуда в ней материя (версия 3) // Zenodo. 2026. Концептуальный DOI: 10.5281/zenodo.21776369.
4. Москвин С. Л. Реликт требует горячей фазы, а не сингулярности: вечно существующая среда в покое и начало расширения (версия 3) // Zenodo. 2026. Концептуальный DOI: 10.5281/zenodo.21780271.

Другие источники

Albert, 2000 – Albert D. Z. Time and Chance. Cambridge, MA: Harvard University Press, 2000

Albrecht, Sorbo, 2004 – Albrecht A., Sorbo L. Can the universe afford inflation? // Physical Review D. 2004. Vol. 70. Art. 063528. DOI: 10.1103/PhysRevD.70.063528. arXiv:hep-th/0405270

Barbour, Koslowski, Mercati, 2014 – Barbour J., Koslowski T., Mercati F. Identification of a gravitational arrow of time // Physical Review Letters. 2014. Vol. 113. Art. 181101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.113.181101. arXiv:1409.0917

Barrow et al., 2003 – Barrow J. D., Ellis G. F. R., Maartens R., Tsagas C. G. On the stability of the Einstein static universe // Classical and Quantum Gravity. 2003. Vol. 20, No. 11. P. L155–L164. DOI: 10.1088/0264-9381/20/11/102. arXiv:gr-qc/0302094

Carroll, 2010 – Carroll S. M. From Eternity to Here: The Quest for the Ultimate Theory of Time. New York: Dutton, 2010

Carroll, Chen, 2004 – Carroll S. M., Chen J. Spontaneous inflation and the origin of the arrow of time. 2004. arXiv:hep-th/0410270

Dyson, Kleban, Susskind, 2002 – Dyson L., Kleban M., Susskind L. Disturbing implications of a cosmological constant // Journal of High Energy Physics. 2002. No. 10. Art. 011. DOI: 10.1088/1126-6708/2002/10/011. arXiv:hep-th/0208013

Eddington, 1930 – Eddington A. S. On the Instability of Einstein’s Spherical World // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1930. Vol. 90, No. 7. P. 668–678. DOI: 10.1093/mnras/90.7.668

Egan, Lineweaver, 2010 – Egan C. A., Lineweaver C. H. A larger estimate of the entropy of the universe // The Astrophysical Journal. 2010. Vol. 710. P. 1825–1834. DOI: 10.1088/0004-637X/710/2/1825. arXiv:0909.3983

England, 2013 – England J. L. Statistical physics of self-replication // Journal of Chemical Physics. 2013. Vol. 139. Art. 121923. DOI: 10.1063/1.4818538. arXiv:1209.1179

Frautschi, 1982 – Frautschi S. Entropy in an expanding universe // Science. 1982. Vol. 217, No. 4560. P. 593–599. DOI: 10.1126/science.217.4560.593

Hamilton, Lisle, 2008 – Hamilton A. J. S., Lisle J. P. The river model of black holes // American Journal of Physics. 2008. Vol. 76. P. 519. DOI: 10.1119/1.2830526. arXiv:gr-qc/0411060

Layzer, 1975 – Layzer D. The arrow of time // Scientific American. 1975. Vol. 233, No. 6. P. 56–69. DOI: 10.1038/scientificamerican1275-56

Parker, 1969 – Parker L. Quantized fields and particle creation in expanding universes. I // Physical Review. 1969. Vol. 183. P. 1057. DOI: 10.1103/PhysRev.183.1057

Penrose, 1979 – Penrose R. Singularities and time-asymmetry // General Relativity: An Einstein Centenary Survey / Eds. S. W. Hawking, W. Israel. Cambridge: Cambridge University Press, 1979. P. 581–638

Price, 1996 – Price H. Time’s Arrow and Archimedes’ Point: New Directions for the Physics of Time. New York: Oxford University Press, 1996

Prigogine et al., 1988 – Prigogine I., Géhéniau J., Gunzig E., Nardone P. Thermodynamics of cosmological matter creation // Proceedings of the National Academy of Sciences USA. 1988. Vol. 85, No. 20. P. 7428–7432. DOI: 10.1073/pnas.85.20.7428

Stoica, 2013 – Stoica O. C. On the Weyl curvature hypothesis // Annals of Physics. 2013. Vol. 338. P. 186–194. DOI: 10.1016/j.aop.2013.08.002. arXiv:1203.3382

Wald, 2006 – Wald R. M. The arrow of time and the initial conditions of the universe // Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 2006. Vol. 37, No. 3. P. 394–398. DOI: 10.1016/j.shpsb.2006.03.005. arXiv:gr-qc/0507094